东南大学-大学物理下-期末复习笔记

振动

定义：物理量在某一值附近周期性地变化

是自然界一种普遍存在的运动形式

机械振动：位移周期变化

简谐运动

定义

有固定的振幅、周期（频率）、相位的振动

特征

受力特征

F = -kx

合力为恢复力

动力学特征

（线性微分方程）

运动学特征

运动学分析

运动方程

A——振幅

w ——角频率

T——周期 T =2Π/w

v——频率 w = 2 Π v

cos（）里——相位

去掉wt——初相

特征量

角频率w取决于振动系统自身的性质

A和初相取决于系统的初始状态

旋转矢量图

平衡位置<——>圆心

振幅<————>半径

角频率<———>角速度

初相<————>矢量与x轴的初始夹角

相位<————>t时刻的夹角

位移<————>矢量在x轴上的投影

相位差

• 对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间的时间间隔

• 对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们之间步调上的差异

  0——同相

  ±Π——反相

  ＞0＜Π——超前

  ＞-Π＜0——落后

能量特征

• 动能和势能均随时间做周期性变化
• 动能和势能反相、互补
• 机械能守恒（只有弹力做功，弹力是保守内力）

简谐运动的合成

波动

波是振动状态在空间的传播过程

分类

• 按振动的物理量

  • 机械波
    • 机械振动在弹性介质中传播
    • 需要波源和弹性介质
    • 是介质中大量质（量）元参与的集体运动
    • 质元同时参与受迫振动和阻尼振动
  • 电磁波
    • 电磁振荡在空间的传播过程

• 按质元振动方向和波的传播方向

  • 横波

    质元的振动方向与波的传播方向垂直

    • 弹性介质的切变
    • 可存在于固体中

  • 纵波

    质元的振动方向与波的传播方向平行

    • 弹性介质的体变
    • 可存在于固、液、气体中

• 按波面的形状

  • 平面波
  • 球面波
  • 柱面波

  波线：由波源引出的表示波传播方向的有向直线

  波面：不同波线上相位相同的点连成的曲面

  波前：某一时刻最前面的波面

特征

• 一定的传播速度
• 伴随着能量的传播
• 具有可叠加性
• 能产生反射、折射、干涉、衍射等现象

平面简谐波

定义

波面是平面，且介质中的质元均按余弦（或正弦）规律运动

条件：波在均匀、无吸收的介质中传播

特点：

• 振幅恒定
• 频率唯一
• 波的传播具有周期性
• 无限延伸且永远存在

可视为一维传播问题

物理量

• 波长

  沿波的传播方向，两个相邻的振动状态完全相同的振动质元间的距离

• 周期 T

  波传播一个波长的距离所需的时间

• 频率 v

  在单位时间内介质中某点全振动的次数，或单位时间内通过介质中某点完整波长的数目

• 波速 u

  • 振动状态在单位时间内传播的距离

  • 机械波的波速取决于弹性介质的力学性质

    

  • 电磁波的波速取决于介质的电磁性质

    

波函数

波函数的物理意义

• 当x固定时，波函数表示该点的振动方程，并给出该点与坐标原点O振动的相位差
• 当t一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形。
• 若x,t均变化，波函数表示波形（相位）沿传播方向的运动情况（行波）。

波的能量特征

平面简谐波的能量

• 媒质中各质元均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能
• 介质发生弹性形变，因而具有弹性势能

• 在波动传播的媒质中，任一质元的动能、势能、机械能均随x,t周期性变化，且同步变化（同相位）

  

• 平面简谐波中任一质元运动方程是余弦（正弦）函数，但机械能不守恒！

能流&能流密度

惠更斯原理

波的衍射

波在传播过程中遇到小孔（障碍物）时，能绕过小孔（障碍物）的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播。

惠更斯原理的内容及应用

介质中，波传到各点都可看作是发射子波的波源，而在其后的任一时刻，这些子波的包络就是新的波前。

应用

• 可确定某时刻波前和波的传播方向
• 解释波在两种介质交界面上发生的反射与折射现象
• 可解释波的衍射现象
  • 当狭缝宽度小于等于入射波的波长时，衍射现象明显
  • 衍射现象是波动的重要特征之一

优点

适用于在任意介质中（均匀或非均匀、各向同性或各向异性）任何波动过程（机械波或电磁波）的传播

不足

没有说明子波的强度分布。

后来菲涅耳对此做了补充，建立惠更斯——菲涅耳原理

波的干涉

频率相同、振动方向平行、相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象（即在波叠加的区域形成稳定的振幅分布）

波的叠加原理

当几列波同时在一种介质中传播时

• 在相遇区域内任一点的振动位移，为各列波单独存在时该点所引起的振动位移的矢量和。
• 相遇后每列波的特征量（如振幅、频率、波长、振动方向等）都不会因其他波的存在而改变。

线性叠加适用于波的强度不大的情况

干涉图像的形成

驻波

振幅特征

相位特征

• 两相邻波节间各点的相位相同

• 某一波节两侧各点的相位相反

能量特征

• 所有质元在各自最大位移时能量表现为势能，波腹处为零，波节处最大

• 所有质元在各自平衡位置时能量表现为动能，波腹处最大，波节处为零

驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，但无长距离的能量传播

相位跃变（半波损失）

波从波疏介质入射到波密介质，反射处形成波节，有相位跃变；反之，反射处为波腹，无相位跃变

简正模式

多普勒效应

由于观察者（接收器）、波源或者两者同时相对介质运动，而使观察者接受的频率与波源发出的频率不同的现象

物理原理

波动光学

相干光

• 光是一种相干波

  其中能引起人眼视觉和底片感光的是E(矢量)，故通常把E叫做光矢量。

• 光波叠加原理

  对于在真空中传播的光或在介质中传播的不太强的光，当几列光波相遇时，其合成光波的光矢量E等于各分光波光矢量的矢量和。

• 光的相干叠加

  若两束光的光矢量E满足相干条件(频率相同、振动方向相同、相位差恒定)，则它们是相干光，对应的光源叫相干光源。

• 原子发光模型

  原子或分子是物质发光的基元，它们通过能级跃迁所发射的光是一个个有限长的光波列。

  普通光源中大量原子发出波列具有独立、偶然、间歇的特点，很难同时满足相干条件，故不能构成相干光源。

• 如何获得相干光

  将普通光源的同一束光分割为两束或多束，使之经过不同路径后再相遇而产生干涉现象。

  • 分波面法
  • 分振幅法

杨氏双缝干涉

光从光疏介质垂直入射或者掠射至光密介质，反射光的相位较之入射光的相位跃变了Π，相当于反射光与入射光之间波程差变化了半个波长。

薄膜干涉

• 增透（反）膜

• 等倾干涉

• 等厚干涉

  • 劈尖

    

  • 牛顿环

    

    

单缝衍射

光的衍射现象

光在传播过程中遇到尺寸与光波长差不多的障碍物（缝）时，不再遵循直线传播，而是绕过障碍物（缝）在屏上形成明暗相间的图案

惠更斯-菲涅耳原理

• 从同一波面上各点发出的子波是相干波
• 传播到空间某一点时各子波进行相干叠加，从而决定该点波的振幅

单缝衍射 光栅衍射 圆孔衍射

偏振光

自然光通过一片偏振片后光强变为1/2.

气体动理论

热力学基本概念

热力学系统

所要研究的宏观物体或者物体组，简称系统

与系统相互作用的周围环境，称为外界

最简单的热力学系统——一定质量的理想气体

孤立系统

与外界完全隔绝，无物质、能量、信息交换

封闭系统

与外界无物质交换，但可有能量交换

开放系统

与外界可以有物质交换，或能量交换

描述系统（气体）热学状态的物理量

压强——力学量

体积——几何量

温度——热学量

热力学理论的目标：寻找这些宏观状态量之间的联系

平衡态

热力学系统在不受外界影响的条件下，它的宏观量具有时间不变性

处于平衡态的热力学系统可用一组状态量（p,V,T）表示

因满足状态方程T = f(p,V)，故只有两个独立参量

在p—V图上用一个点表示平衡态。

准静态过程

• 热力学过程

  若外界对系统有影响，系统从一个状态到另一个状态所经历的变化叫热力学过程

• 准静态过程

  系统的初、末态及所有的中间态都可近似看成平衡态

  • 是一个理想情况（非常缓慢的过程）
  • 准静态过程在p—V图上可表示为一条曲线
  • 实际的热力学过程为非静态过程

热力学第零定律

如果物体A和B分别与物体C处于热平衡状态，则A和B也处于热平衡

热平衡：温度相同

理想气体的宏观定义和物态方程

• 温度不太低（大于 500 K）
• 压强不太大（不高于 1.01 X 10^5 Pa）

理想气体的微观模型

物质的微观模型

• 宏观物体由大量分子（原子）组成，分子或原子之间有间隙
• 分子永不停息作无规则运动
• 分子间有相互作用力

理想气体的微观模型

• 分子本身的大小远小于分子间的平均距离
• 除碰撞的瞬间外，分子间无相互作用
• 分子间（或分子与容器壁）的碰撞为弹性碰撞

描述系统(气体)分子运动的微观量

分子的直径d

质量m

速度m

动量p

能量E

气体动理论的主要目标

寻找宏观量与微观量之间的关联，给出宏观状态量、宏观规律的微观解释和统计意义

• 研究方法
  • 建立微观模型
  • 采用统计方法
  • 获得统计规律

统计规律与统计方法

统计规律

大量随机事件的整体行为所具有的规律性

统计方法

理想气体的压强公式

等概率假设

对于处在平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率相等。

对于处于平衡态的绝热容器中一定质量的理想气体而言，等概率假设可表述为：分子沿空间各个方向运动机会相同。

理想气体的压强公式

• 压强的微观实质

  压强是大量分子之间和分子与容器壁频繁碰撞产生的

• 压强的统计意义

  压强是大量分子的集体表现，对个别分子无意义

理想气体的温度

• 温度的微观实质

  分子无规则运动剧烈程度的量度

• 温度的统计意义

  温度是大量分子的集体表现，对个别分子无意义

• 在同一温度下，不同种类的理想气体分子平均平动动能相等

能量均分定理

空间自由度

决定物体的空间位置至少需要的独立坐标的数目

单原子分子

分子的位置（x, y, z），平动自由度t = 3

双原子分子

• 分子质心的位置（x, y, z），平动自由度t = 3
• 双原子连线的方位（α, β），转动自由度r = 2
• 若为刚性分子，振动自由度v = 0
• 若为非刚性分子，振动自由度v = 1

多原子分子

• 分子质心的位置（x, y, z），平动自由度t = 3
• 双原子连线的方位（α, β），分子绕转轴从起始位置转过的角度，转动自由度r = 3
• 若为刚性分子，振动自由度v = 0
• 若为非刚性分子，振动自由度v = 原子对的个数

热力学基础

热力学第一定律

准静态过程（详见气体动理论)

体积功

• 一定质量的气体由于体积变化所做的功。

• 在p-V图中表示为过程曲线下方所包围的面积

  • 若气体膨胀（单调），对外界作正功W > 0

    若气体被压缩（单调），对外界作负功W < 0

  • 功是过程量

热量

• 系统与外界由于存在温度差而传递的能量

• 若Q > 0，系统从外界吸收热量

  若Q < 0，系统向外界放出热量

• 相同的理想气体分别经等体、等压过程升高相同的温度，所吸收的热量不等

热量是过程量

做功和热传递都可以改变系统的能量

• 做功

  条件：系统与外界存在压强差

  实质：热能与其他形式的能量的转化

• 热传递

  条件：系统与外界存在温度差

  实质：热能在不同的系统之间的转移

内能

• 系统的内能指系统的总能量

  包括：所有分子的动能，分子之间的相互作用势能，原子内部的电磁能与核能等

• 内能是系统的状态函数，处于某一平衡态的系统内能是确定的

说明

• 由于热力学只讨论热运动，所以系统的内能变化只与分子动能和分子间势能有关。
• 对于理想气体，分子间没有作用力，没有势能

结论

系统从系统A经不同热力学过程变到状态B，尽管外界对系统做的功和系统从外界吸收的热量可能各不相同，但内能变化相同。

说明

• 热力学第一定律是能量守恒定律在热力学中的体现

• 热力学第一定律说明第一类永动机不可能实现

• • 热能

    物体内部所有分子动能(包括分子的平动、转动和振动动能)之和，只与温度有关，是状态量。

  • 内能

    物体内部分子无规则运动的动能与分子间势能的总和，是状态量（热能是内能中的一部分）

  • 热量

    系统与外界有温度差时，传递的能量（热量）是过程量

用热力学第一定律分析几个典型热力学过程

等体过程

• 过程方程

  p/T=常量

• 热力学第一定律分析

  

  因内能是状态量，故该公式适用于T1-T2间的任何热力学过程

等压过程

• 过程方程

  V/T=常量

• 热力学第一定律分析

  

等温过程

• 过程方程

  pV = 常量

• 热力学第一定律分析

  

绝热过程

Q = 0

• 准静态绝热过程

  系统被绝热材料包裹，过程缓慢

  

  

• 非静态绝热过程（理想气体绝热自由膨胀过程） 热力学过程非常迅速，系统来不及与外界进行显著热量交换（如给轮胎充气、放气；内燃机内燃气的爆炸过程）

  

理想气体的摩尔热容

仅取决于分子的自由度，与气体种类、温度无关

• 理论值与实验值的比较

  • 低温下单原子分子气体的热容实验、理论值较好地相符
  • 自由度相同但不同种类的气体，热容并不完全相同

  • 气体的热容随温度的升高而增大

  • 双（多）原子分子气体的热容随温度呈阶梯状增长

热机及其发展

循环过程

系统（热机中的工作物质，如水蒸气、油气混合物）经一系列变化后又回到初态的整个过程叫循环过程

• 正循环

  系统做净功 W > 0

  ΔE = 0

  系统净吸热 Q > 0

• 逆循环

  系统做净功 W < 0

  ΔE = 0

  系统净吸热 Q < 0

热机

工作于正循环

制冷机

工作于逆循环

卡诺循环

• 由两个等温过程和两个绝热过程组成

热力学第二定律

两种表述

开尔文从热机角度，克劳修斯从制冷机角度描述热力学第二定律，两者等价。

• Kelvin表述——热功转换过程具有方向性（不可逆）

  ​ 不可能制造出这样一种循环工作的热机，它只从单一热源吸取热量，使之完全变为有用功而不引起其它变化。——不存在效率为100%的热机

• Clausius表述——热传递过程具有方向性（不可逆）

  不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化。——不存在制冷系数为∞的制冷机

自然界的自发过程具有方向性（不可逆性）

可逆过程 不可逆过程

考虑系统从状态A到状态B的过程，若当系统从B回复到A时，外界也同时复原，则称该过程为可逆过程，如果外界不能同时复原，就为不可逆过程。

• 自然界的一切实际过程（自发过程）都是不可逆的

  原因：

  • 非静态过程（存在不平衡因素，速度快）
  • 有能量的耗散（做功把机械能转化为热能）

• 可逆过程的条件

  • 准静态过程（无限缓慢的过程）
  • 无能量耗散（无摩擦力、粘滞力或其他耗散力做功）

卡诺定理

• 可逆循环 可逆机
  • 循环无限缓慢、无摩擦地进行，且正循环所产生的（外界、系统）变化能够被其逆循环完全复原
  • 以可逆循环工作的机器是可逆机（可逆热机、可逆制冷机）
• 卡诺定理
  1. 工作在相同高温热源和低温热源之间的任意工作物质的可逆热机都具有相同的效率
  2. 工作在相同的高温热源和低温热源之间的一切不可逆热机的效率都小于可逆机的效率
• 提高热机效率的方法
  • 尽可能提高高温热源的温度或降低低温热源的温度
  • 降低损耗，减慢过程，使热力学过程尽可能接近可逆循环过程，使热机尽可能接近可逆热机

熵 熵增加原理

熵

• 可逆卡诺循环

  

• 推广至：任一可逆循环

  

• 熵（entropy）

  • 可逆过程

    表示系统状态的变化，此态函数称为——熵。熵是广延量，即系统总的熵（变）是各部分熵（变）之和。

    熵变：

  • 不可逆过程

    

    熵变：

热力学第二定律的熵表述

熵增加原理

孤立系统中的熵永不减少 ΔS≥0

• 若为可逆过程 ΔS = 0；若为不可逆过程 ΔS ＞ 0
• 若非孤立系统，也可能出现ΔS ＜ 0.但只要适当将系统同与之作用的外界划分为更大的系统，总可以得到孤立系统，从而满足熵增加原理
• 熵增加原理是热力学第二定律在孤立系统中的体现
• 热力学第二定律亦可表述为：孤立系统的一切自发过程总是向着熵增加的方向进行，最终达到熵最大的平衡态。

热力学熵（克劳修斯熵）的物理内涵

相同的热量在高温热源做功能力比在低温热源大

• 熵是能量品质的量度，熵增意味着能量品质的退降
• 热力学第二定律亦可表述为：热力学过程伴随着能量向品质降低（不可利用程度提高）的方向转化。

热力学第二定律的统计意义

气体自由膨胀过程不可逆的微观解释

宏观状态：分子的分配方式

微观状态：分子的分布方式

• 热力学概率W

  系统在某一宏观状态所包含的微观态数

• 等概率假设

  处于平衡态时，孤立系统中每一微观状态出现的概率相等

  若某一宏观态包含的微观态越多，则其出现的概率越大

• 微观解释

  自由膨胀的过程是从概率小的宏观状态向概率大的宏观状态进行的过程

热力学第二定律的统计意义

• • 有序：有组织、有结构——热力学概率小
  • 无序：组织的溃散、结构的消解——热力学概率大

• 统计意义

  一个孤立系统内部发生的不可逆过程，其方向总是从微观态少/概率小/有序度高的宏观状态向微观态多/概率大/无序度高的宏观状态进行

• 热功转换、热传递的不可逆性均可由热力学第二定律的统计意义加以解释

熵的统计意义

• Boltzmann关系式

  总系统和子系统的热力学概率和熵分别满足：

  

  玻尔兹曼熵公式

• 熵的统计意义

  熵是孤立系统无序程度的量度

• 熵增加原理

  

• 理想气体的熵变

  

对玻尔兹曼熵（统计熵）的进一步说明

1. 孤立系统的平衡态是系统的最概然分布，系统即使处于平衡态，也存在偏离平衡态的可能性，这种“涨落”现象，是系统内部存在的一种内在随机性
2. 克劳修斯熵（热力学熵）只对平衡态有意义，而玻尔兹曼熵（统计熵）对系统任意宏观态（包括非平衡态）均有意义，玻尔兹曼熵意义更普遍。
3. 玻尔兹曼熵是系统无序性的量度，这一描述已超出了分子热运动的领域，适用于任何做无序运动的粒子系统，对大量无序出现的事件（如大量出现的信息）的研究，也应用了熵概念。
4. 目前，熵已渗透到生物学、化学、经济学、社会学、生命、信息、资源、环境等领域。

熵与概率之间的联系是物理学最深刻的思想之一

量子物理

19世纪末——20世纪初，物理学有许多新发现，同时面临许多新问题：

• 以太漂浮假说与迈克耳孙——莫雷实验“零结果”

• 能量均分定理与黑体热辐能谱分布的实验结果不符

新理论诞生：

• 高速领域的规律

• 微观世界的规律

黑体辐射

热辐射

• 由于物体中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象
• 在任何温度下，物体辐射出各种频率的电磁波
• 辐射能量按频率的分布与温度有关
• 物体在任何时候都存在发射和吸收电磁辐射的过程

实验表明：辐射能力越强的物体，其吸收能力也越强

• 平衡热辐射

  同一时间内从物体表面辐射的电磁波的能量和它吸收的电磁波的能量相等。

描述热辐射的物理量

单色辐出度（单色辐射出射度）

单位时间内，热力学温度为T的物体单位面积发出的波长在λ附近单位波长区间（或频率在V附近单位频率区间）的电磁波的能量

辐出度

单位时间内，热力学温度为T的物体单位面积上辐射的各种波长（频率）的电磁波能量之和。

黑体辐射

黑体

能完全吸收照射到它上面的各种频率的电磁辐射的物体

黑体模型：开有小孔的空腔

黑体辐射

在一定温度下，黑体也要向外辐射电磁波

• 黑体腔壁的原子由于振动向腔内发射电磁波，也吸收其他原子发射的电磁波，在一定温度下达到发射和吸收的平衡
• 腔内由于电磁波的传播和反射，形成一组稳定的电磁驻波
• 电磁驻波由小孔逸出，就成为这个黑体的热辐射
• 辐射含有各种频率成分，且不同频率的电磁波强度也不同，其分布因温度而异

黑体辐射的两个实验定律

斯特藩——玻尔兹曼定律

维恩位移定律

### 黑体辐射两个实验定律的经典理论解释

维恩公式

瑞利——金斯公式

普朗克能量子假设 普朗克黑体辐射公式

黑体空腔壁中原子的振动可视为一维谐振子，它吸收或者发射电磁辐射能量不是连续地取值，而是以与振子的频率成正比的能量子为单元来吸收或发射能量

光电效应 光的波粒二象性

光电效应

紫外线照射到金属表面，电子从金属表面逸出，逸出的电子称为光电子，形成光电流

• 存在截止频率（红限）V0

  仅当V>V0才发生光电效应，截止频率与材料有关，与光强无关

• 存在饱和电流与遏止电压

  饱和电流强度与入射光强成正比，遏止电压与入射光强无关

• 当V>V0， 遏止电压与入射光频率成线性关系 U0 =Kv-U1

• 瞬时性——当光照射到金属表面上时，几乎立即就有光电子逸出

经典理论不能解释“截止频率”和“瞬时性”

爱因斯坦光量子（“光子”）假说

光是一束光子流，能量等于hv，短波光子能量大，强光里面光子稠

光的波粒二象性

• 波动性：光的干涉、衍射和偏振

• 粒子性：E = hv(光电效应等)

  • 质能关系：E = mc^2; m = hv/c^2
  • 相对论能量和动量关系：E^2 = p^2 * c^2 +E0^2
  • 光子E0 = 0，E = pc

康普顿散射实验

定性解释

• 频率为V0的X射线看成由一些能量为E0 = hv0 的光子组成
• 入射光子与介质表面（受原子束缚较弱的）电子碰撞为弹性碰撞，且电子在碰撞前可认为静止
  • 电子从入射光子处获得动能，形成反冲电子，同时产生散射光子
  • 全过程满足能量守恒和动量守恒，散射光子的能量（频率）小于入射光子的能量（频率），波长变长
• 若入射光子与介质中（受原子束缚较强的）电子碰撞，电子动能不变，散射光子波长亦不变

定量解释

物理意义

• 对于波长较短的电磁波，康普顿效应显著
• 相对原子质量小的物质，康普顿效应显著
• 证明了光子假设、狭义相对论力学的正确性
• 证明了微观粒子的相互作用也遵守能量守恒定律和动量守恒定律

氢原子的波尔理论

氢原子光谱的实验规律

• 氢原子光谱是彼此分立的线状光谱，每一条谱线具有确定的波长（或频率）

• 每一条光谱线的波数可以表示为两项之差

原子结构模型

• 1903年，汤姆孙提出原子的”葡萄干蛋糕模型”

  • 能使原子处于稳定状态
  • 对电子数和原子量的理论结果与实验不符

• 1911，卢瑟福的原子有核模型（行星模型）

  α粒子散射实验

  • 大多数α粒子沿原方向或小角度散射方向运动
  • 每8000个α粒子中有一个散射角大于90度甚至接近于180度

  原子中心有一带正点的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核旋转，核的尺寸与整个原子相比是很小的

• 经典理论在解释“行星模型”时的困难

  • 原子不断地向外辐射能量，能量逐渐减小，电子绕核旋转的频率也逐渐改变，发射光谱应是连续谱，与实验为线状谱矛盾
  • 随着原子总能量减少，电子轨道半径不断减少，最后落到原子核上，原子不稳定，与原子稳定矛盾

氢原子的波尔理论

波尔理论的三个假设

1. 电子在原子中，只能在一些特定的轨道上运动且不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态），并具有一定的能量

2. 电子在稳定圆轨道上运动时，其角动量L等于h/2Π的整数倍 主量子数n = 1，2，3，…

   

3. 当原子从高能量Ei的定态跃迁到低能量Ef的定态时，要发射频率为V的光子

   

说明：

1. 氢原子的能量是一系列分立的值——能级

2. 由于E∞ = 0，则

   E1

   为把电子从第一波尔轨道移到无穷远处所需的能量值，称为电离能（13.6 eV）

3. 

波尔理论的成就与不足

• 成就
  • 第一次从理论上说明了氢原子和类氢原子的光谱结构
  • 第一次指出经典理论不能完全适用于原子内部运动过程，揭示了微观体系特有的量子化规律（能量、位置、角动量），对量子力学理论的建立起了巨大的推动作用
• 不足
  • 不能解释多电子原子的光谱结构
  • 对谱线的强度、宽度无能为力
  • 既把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，又赋予它们量子化特点，显得不够协调

德布罗意波

德布罗意假设

实物粒子具有波粒二象性

λ = h/p; v =E/h

说明：

1. 宏观物体的德布罗意波长远小于其自身尺度，实验难以测量，故表现出粒子性
2. 微观粒子的德布罗意波长接近其自身尺度，波动性明显，且能量越高，波长越短

德布罗意波的实验证明

• 戴维孙——革末电子衍射实验
• 电子衍射实验
• 电子双缝干涉实验

德布罗意波的应用

• 由于高能电子波的波长很短，电子显微镜的分辨能力达到0.2 nm

  

• 由于低能电子波穿透深度比X光小，被用于固体表面性质的研究

• 由于中子容易被氢原子散射，故用中子衍射研究含氢的晶体，如蛋白质

德布罗意波的物理意义

德布罗意波是概率波，在某处德布罗意波的强度与粒子在该处附近出现的概率成正比

1. 德布罗意波与经典波不同
   • 经典波是振动状态的传播
   • 德布罗意波是微观粒子量子叠加态表示的概率波
2. 微观粒子与经典粒子也不同
   • 具有一定动量的经典粒子的运动轨迹是确定的
   • 具有一定动量的微观粒子其位置是随机的

不确定关系

微观粒子的波粒二象性及其统计意义不仅直接导致了例子位置和动量的不确定性，而且进一步反映了粒子位置与动量两者的不确定度存在相互制约的关系

ΔXΔPx≥h

物理意义：对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述。

说明：

• 不确定的根源是“微观粒子的波粒二象性”，这是自然界的根本属性，与实验技术或仪器的精度无关
• 不确定关系的两个推论
  • 微观粒子的运动原则上无轨道可言
  • 微观粒子是不可能静止的

波函数

• 不确定关系：不能同时确定微观粒子的位置、动量；
• 实验测量：物理量的统计平均值；
• 理论计算：先写出波函数，再通过统计意义计算能量、动量、角动量、位置等力学量的统计平均值

波函数——描述微观粒子状态的物理量

一个沿x轴正方向运动的，不受外力作用的自由粒子，对应的物质波是一列单色平面波，波函数为

（自由粒子在空间个点等概率）

波函数的物理意义

t时刻粒子在空间某点附近体积元dV中出现的概率与该处波函数绝对值的平方成正比，即

波函数的标准条件

薛定谔方程

• 物质波波函数所遵循的方程
• 量子力学的动力学方程

薛定谔方程的应用

一维无限深势阱